No Image

Чем обычно характеризуется эллипсоид

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
11 марта 2020

эллипсоид вращения — sukimosi elipso >Fizikos terminų žodynas

ЭЛЛИПСОИД — (греч., от elleipsis эллипсис, и e >Словарь иностранных слов русского языка

Эллипсоид — вращения Эллипсоид поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых коор … Википедия

Эллипсоид — Эллипсоид. ЭЛЛИПСОИД, поверхность, которую можно получить из сферы, если сферу сжать (растянуть) в произвольных отношениях в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Если эллипс вращать вокруг одной из его осей, то описываемая им поверхность… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Эллипсоид — земной (a. earth ellipso >Геологическая энциклопедия

Эллипсоид нормальный — Нормальный эллипсоид: эллипсоид вращения, создающий гравитационное поле, максимально близкое к гравитационному полю Земли. Источник: ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ . КООРДИНАТНАЯ ОСНОВА. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ. ГОСТ Р 52572 2006 (утв. Приказом … Официальная терминология

эллипсоид — а; м. [от греч. elleipsis выпадение, опущение и e >Энциклопедический словарь

Эллипсоид* — Поверхность второго порядка, замкнутая, имеющая центр и пересекаемая всякой плоскостью по эллипсам или кругам, называется Э. На прилагаемом чертеже изображен Э. с тремя неравными главными взаимно перпендикулярными полуосями: большой а = OA,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Эллипсоид — Поверхность второго порядка, замкнутая, имеющая центр и пересекаемая всякой плоскостью по эллипсам или кругам, называется Э. На прилагаемом чертеже изображен Э. с тремя неравными главными взаимно перпендикулярными полуосями: большой а = OA,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

ЭЛЛИПСОИД — (от эллипс и греч. e >Большой энциклопедический политехнический словарь

Примеры.

Общее уравнение поверхности второго порядка

VII. Поверхности второго порядка

Определение. Алгебраической поверхностью n-го порядка называется множество точек пространства, имеющее в некоторой аффинной системе координат , в частности, в прямоугольной декартовой системе координат , уравнение вида:

, где — многочлен n-ой степени относительно с действительными коэффициентами.

Можно доказать, что определение поверхности n-го порядка не зависит от выбора системы координат в пространстве, то есть если в какой либо АСК поверхность задаётся уравнением n-ой степени, то и в любой другой АСК она также задаётся уравнением n-ой степени.

1) Алгебраической поверхностью первого порядка является любая плоскость с общим уравнением , где ;

2) Алгебраическая поверхность второго порядка имеет уравнение вида: , где хотя бы один из коэффициентов членов второй степени отличен от нуля.

Это уравнение называется общим уравнением поверхности 2-го порядка.

Так же, как и для линии второго порядка на плоскости, можно доказать, что уравнение любой поверхности 2-го порядка с помощью надлежащего выбора системы координат (прямоугольной декартовой) может быть приведено к одному из 17 (семнадцати) простейших видов, которые называются каноническими.

Читайте также:  Телевизоры филипс 2018 отзывы

Общую теорию поверхностей второго порядка мы изучать не будем, исследуем свойства этих поверхностей по их каноническим уравнениям.

x
y
z

2. Мнимый эллипсоид (пустое множество точек): .

3. Однополостный гиперболоид: .

4. Двуполостный гиперболоид: .

5. Эллиптический параболоид: .

6. Гиперболический параболоид: .

8. Мнимый конус (точка O(0,0,0)): .

9. Эллиптический цилиндр: .

z
y
x

10. Гиперболический цилиндр: .

11. Параболический цилиндр: .

12. Мнимый цилиндр (пустое множество точек):

VI. Пары плоскостей

13. Пара пересекающихся плоскостей:

14. Пара мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой:

15. Пара различных параллельных плоскостей:

16. Пара совпавших плоскостей:

17. Пара мнимых параллельных плоскостей (пустое множество точек). (Изображения поверхностей 2-го порядка смотреть в учебнике геометрии часть I, глава IX.)

Эллипсоид задаётся своим каноническим уравнением:

1. Плоскости, оси и центр симметрии

а) Так как переменная z содержится в уравнении (1) лишь во второй степени, то это уравнение не изменится при замене на .

Следовательно, если точка принадлежит эллипсоиду, то ему также принадлежит и точка .

x
y
z
x
y

Эти точки симметричны относительно плоскости , значит и весь эллипсоид симметричен относительно этой плоскости.

Аналогично, эллипсоид симметричен и относительно плоскостей и .

б) Так как уравнение (1) не изменяется при одновременной замене на и на , то эллипсоид симметричен относительно оси .

Аналогично, эллипсоид симметричен и относительно осей и .

в) Так как уравнение (1) не изменится при одновременной замене на , на на , то эллипсоид симметричен относительно начала координат.

Определение 1. Центр симметрии поверхности второго порядка называется её центром, а её оси симметрии – осями поверхности второго порядка.

Таким образом, эллипсоид с уравнением (1) имеет:

· один центр симметрии – начало координат;

· три оси симметрии – оси , , и ;

· три плоскости симметрии – плоскости , , .

Определение 2. Вершинами поверхности 2-го порядка называются точки пересечения её с осями.

Найдём вершины эллипсоида с уравнением (1).

Точки пересечения эллипсоида с осью обозначим:

Аналогично получим точки пересечения эллипсоида с осью :

Итак, эллипсоид имеет шесть вершин. Числа называются комре эллипсоида.

3. Главные сечения

Определение 3. Множество точек (кривая линия), получающиеся при пересечении некоторой поверхности (не обязательно 2-го порядка) плоскостью, называется сечением этой поверхности.

Определение 4. Сечения поверхности 2-го порядка её плоскостями симметрии называются её главными сечениями.

Легко видеть, что все главные сечения эллипсоида есть эллипсы:

4. Сечения плоскостями, параллельными плоскостям симметрии

Рассмотрим сечение эллипсоида с уравнением (1) плоскостью α, параллельной плоскости Оху:

В зависимости от величины h возможны случаи:

а) и плоскости α с уравнением z=h эллипсоид не пересекает.

б) и сечением является либо точка C1(0;0;c), либо точка C2(0;0;-c), то есть, одна из вершин – эллипсоида.

Читайте также:  Замена трубопроводов методом разрушения

в) и получаем систему уравнений:

В уравнении (3) положив: , приходим к уравнению эллипса с полуосями а1 и b1:

Итак, в этом случае в сечении мы получаем эллипс, центр которого лежит на оси Oz в точке D(0;0;h). Легко видеть, что при уменьшении полуоси а1 и b1 возрастают и при h=0 имеем: a1=a, b1=b – сечение является главным.

Аналогично можно показать, что сечение эллипсоида с уравнением (1) плоскостями x=h или y=h является либо эллипсом, либо точкой – соответствующей вершиной эллипсоида, либо пустым множеством.

Заметим дополнительно, что из уравнения (1) следует, что

Поэтому имеем: -a ≤ x ≤ a, -b ≤ y ≤b, -c ≤ z ≤ c. Отсюда следует, что все точки эллипсоида (кроме его вершин) лежат внутри прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2a, 2b, 2c. Грани его параллельны координатным плоскостям, а вершины эллипсоида служат центрами симметрии этих граней.

Изобразим теперь эллипсоид, используя проведённые выше исследования его формы.

5. Виды эллипсоидов

а) Если все полуоси эллипсоида различны: a≠b≠c, то он называется трёхосным.

б) Если две полуоси эллипсоида равны, например, a=b, то он является поверхностью вращения. Все его сечения, перпендикулярные оси вращения Oz, есть окружности. Эллипсоид называется в этом случае эллипсоидом вращения с осью вращения Oz и имеем каноническое уравнение:

в) Если все три оси эллипсоида равны: a=b=c, то он представляет собой сферу с центром в начале координат радиуса r = a:

Следовательно, сфера является частным случаем эллипсоида.

Можно показать, что любой трёхосный эллипсоид с уравнением (1) можно получить из некоторой сферы, например, с уравнением (6), с помощью последовательного сжатия к двум взаимно перпендикулярным плоскостям симметрии этой сферы.

Замечание. Эллипсоид с центром O’(x;y;z) и полуосями a, b, c, параллельными осям координат, имеем уравнение: =1.

В частности, сфера радиуса r = a с центром в точке O’(x;y;z) имеем уравнение: +

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10243 — | 7598 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Определение эллипсоида

Эллипсоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

где — положительные параметры, удовлетворяющие неравенствам .

Если точка принадлежит эллипсоиду (4.46), то координаты точек при любом выборе знаков также удовлетворяют уравнению (4.46). Поэтому эллипсоид (4.46) симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Начало координат называют центром эллипсоида (4.46). Шесть точек пересечения эллипсоида с координатными осями называются его вершинами, а три отрезка координатных осей, соединяющих вершины, — осями эллипсоида. Оси эллипсоида, принадлежащие координатным осям , имеют длины соответственно. Если b>c" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAFEAAAAQBAMAAACcpY7MAAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADXRSTlMAEacB0WkhgcA75ZFRKK9ZmAAAARhJREFUKM9jYKAEJHUQq1L0igGRKhlv45dXg7N47oAppgRcruuE2cl9EUyxaUxGs2vHtgCI0h6oUhPXpgkQpYdhiiKaBBgYZgWfvQw11RWiVPaq6UKIqSrBEBkRNakNDIyLGLicoTrFIUrPBnBehdpXAlbK6GJQW8DAfodBdgPMEvHlIHKvgOV1mNOqCkAOv8MgycBgtZjh7AF4SLqDSBcG9qswlSEglVZg58k2A82A2w5iMV9i4LgGsz0QRNk2gMkCBi8msFcZ0l2ZQe5kvs6QqwDxUUmAMVgNkJvAwKLAekkExevM2gwqAiheN3JgEApg4FytuksHNeRn7VJEDXnGjiJNkIABGyjaGDURkTERTApNQMQOUAQACxo8dxA2UAQAAAAASUVORK5CYII=" />, то число называется большой полуосью, число — средней полуосью, число — малой полуосью эллипсоида. Если полуоси не удовлетворяют условиям , то уравнение (4.46) не является каноническим. Однако при помощи переименования неизвестных можно всегда добиться выполнения неравенств .

Читайте также:  Светильник в реечный потолок влагозащищенный

Плоские сечения эллипсоида

Подставляя в уравнение (4.46), получаем уравнение линии пересечения эллипсоида с координатной плоскостью . Это уравнение в плоскости определяет эллипс Линии пересечения эллипсоида с другими координатными плоскостями также являются эллипсами. Они называются главными сечениями (главными эллипсами) эллипсоида.

Рассмотрим теперь сечение эллипсоида плоскостью, параллельной какой-нибудь координатной плоскости, например . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.46), получаем

При c" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAg0KoBP0QXdEhwHEx4v6hyb4AAADaSURBVCjPY2DAD/ZAae4D2GSFGBiqlgNpRgUcsofD8ckyh+GT5W2Ay1piyk4VgMtOXoQhW1q9WAFm8uTlMAn2VWZgWdMm5gtweye3Q2i25mkXwbJXJzDGIFyVCJHOaGAMBMlyBjIwByC5OfEiiBQtYFMAybKHM7AaIMmmN4LIUKirgN49ugHJ5O4EEBUFleVtYBHNMYDJToS6KpiBgRMkmyrAsIL5AMxHUEkGCwY2c5CsqgLDXnOM0MhaaAx2FQ/QjASILJsRIpiSEiBhBQY4Y4Fs2U2wlINFFgCrpSqpbSiUhgAAAABJRU5ErkJggg==" style="vertical-align: middle;" /> уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательная, а левая неотрицательная), т.е. плоскость не пересекает эллипсоид. При уравнение (4.47) имеет нулевое решение . Следовательно, плоскости касаются эллипсоида в его вершинах . При , разделив обе части уравнения (4.47) на 0" png;base64,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" style="vertical-align: middle;" />, получаем уравнение эллипса полуосями . Следовательно, сечение эллипсоида плоскостью при представляет собой эллипс.

Плоские сечения дают возможность составить полное представление о виде эллипсоида (рис.4.40,а).

Эллипсоиды вращения

Эллипсоид, у которого две полуоси равны, называется эллипсоидом вращения (или сфероидом ). Такой эллипсоид является поверхностью вращения. Например, если , то линии (4.47) при являются окружностями. Следовательно, сечения эллипсоида плоскостями представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Такую поверхность можно получить, вращая вокруг оси эллипс заданный в плоскости (рис.4.41,а).

Если , то все сечения эллипсоида (4.46) плоскостями при эллипс (рис.4.41,б).

Если все полуоси эллипсоида равны , то он представляет собой сферу радиуса , которую можно получить, например, вращая окружность такого же радиуса вокруг любого диаметра.

Эллипсоид, у которого полуоси попарно различны b>c)" png;base64,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" style="vertical-align: middle;" />, называется трехосным (или общим).

1. Плоскости определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед , внутри которого находится эллипсоид (см. рис.4.40,б). Грани параллелепипеда касаются эллипсоида в его вершинах.

2. Эллипсоид можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате трех сжатий (растяжений) сферы единичного радиуса к трем взаимно перпендикулярным плоскостям.

3. Начало канонической системы координат является центром симметрии эллипсоида, координатные оси — осями симметрии эллипсоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии эллипсоида.

В самом деле, если точка принадлежит эллипсоиду, то точки с координатами при любом выборе знаков также принадлежат эллипсоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.46).

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Строительство
0 комментариев
Adblock detector