No Image

Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
11 марта 2020

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля введем циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора В по заданному замкнутому контуру называется интеграл

где dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, Bl=Bcos составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), — угол между векторами В и dl.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):

циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

(118.1)

где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис. 173,

Выражение (118.1) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам (рис. 174). Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касатель­ной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора В равна

Согласно выражению (118.1), получим В2r=I (в вакууме), откуда

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора В получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше (см. (110.5)).

Сравнивая выражения (83.3) и (118.1) для циркуляции векторов Е и В, видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростати­ческого поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био — Савара — Лапласа

68Контур с током в однородном магнитном поле.

Под контуром с током здесь подразумевается замкнутый тонкий проводник, по которому течет постоянный ток. В однородном магнитном поле силы Ампера стремятся растянуть или сжать замкнутый контур с током, но в сумме они равны нулю и поэтому не могут сдвинуть контур с места.

Однако, суммарный момент этих сил нулю не равен. Момент сил, поворачивающий весь контур с током, вычисляется, как Будем определять направление вектораплощади, ограниченной контуром с током, по правилу правого винта, вращая его «по току». Тогда выражение для вектора момента сил запишется в виде,.

Величина называетсямагнитным моментом контура с током.

Момент сил Ампера стремится повернуть плоскость контура с током перендикулярно линиям индукциитак, чтобы магнитный моментбыл направлен одинаково с вектором.

Циркуляцией вектора по задан­ному замкнутому контуру L называется следующий интеграл по этому контуру:

где — элемент длины контура, направленный вдоль обхода контура; — составляющая вектора в направлении касательной к контуру, с учетом выбранного направления обхода; α — угол между векторами и .

Читайте также:  Как обшить табуретку своими руками

Теорема о циркуляции вектора (закон полного магнитного поля в вакууме): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

где — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Эта теорема справедлива только для поля в вакууме, поскольку для поля в веществе надо учитывать молекулярные токи. Каждый ток учитывается столько раз, сколько он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.

Пример: магнитное поле прямого тока.

Замкнутый контур представим в виде окружности радиуса . В каждой точке этой окружности вектор одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности:

, отсюда

Сравним выражения для циркуляции векторов .

,

Принципиальное различие между этими формулами в том, что циркуляция вектора электростатического поля всегда равна нулю. Такое поле является потенциальным. Циркуляция вектора магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым или соленоидальным.

19.Магнитное поле соленоида.

Соленоидомназывается свернутый в спираль изолированный проводник по которому течет электрический ток. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков. Циркуляция вектора по замкнутому контуру ABCDA. охватывающему все N витков, равна

На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции, следовательно Вi = 0. Можно показать, что вне бесконечного соленоида магнитное поле B = 0 (удалив участок СВ на бесконечность, где магнитное поле соленоида равно нулю, поскольку магнитное поле каждого витка соленоида уменьшается с расстоянием ). На участке DA контур совпадает с линией мапнитной индукции, внутри соленоида поле однородно ( ), поэтому

Магнитная индукция (бесконечного) соленоида в вакууме:

20.Магнитное поле тороида в вакууме.

Тороидом— называется кольцевая катушка с витками, намотанными на сердечник, имеющий форму тора, по которой течет ток.

Магнитное поле отсутствует вне тороида, а внутри его оно является однородным.

Линии магнитной индукции, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены на оси тороида.

В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса г. По теореме о циркуляции , где N—число витков тороида. Отсюда

21.Поток вектора магнитной индукции.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная

где — проекция вектора на направление нормали к площадке dS, α — угол между векторами и , — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали к площадке.

Поток вектора может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака .

Поток вектора связывают с контуром по которому течет ток. Положительное направление нормали к контуру связано с направлением тока по правилу правого винта. Поэтому магнитный поток, создаваемый контуром с током через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S:

Если поле однородно и перпендикулярно ему расположена плоская поверхность с площадью S, то

Единица магнитного потока — вебер (Вб): 1 Вб — магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1м 2 , расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1Тл (1 Вб=1 Тл*м 2 ).

Читайте также:  Чем разбавить вододисперсионную краску

22. Теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме

Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала ни конца и являются замкнутыми.

23. Потокосцепление.

Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называется потоносцеплением Ψ этого контура.

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в самом этом контуре, называется потокосцеплением самоиндукции.

Например, найдем потокосцепление самоиндукции соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью μ. Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен . Полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида равен:

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока, идущего в другом контуре, называется потокосцеплением взаимной индукции этих двух контуров.

24. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле.

Проводник длиной l (он может свободно перемещаться) с током I находится в однородном магнитном поле (см. рисунок). Поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка — из-за чертежа. Сила Ампера F=IBl.

Под ее действием проводник переместился из положения 1 в положение 2.

Работа, совершаемая магнитным полем:

— площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле; — поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

25. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле.

Магнитное поле направпено перпендикулярно плоскости рисунка — за чертеж. Работа dA сил Ампера при перемещении контура ABCDA равна сумме работ по перемещению проводников и ,т.е.

При перемещении участка CDA силы Ампера направлены в сторону перемещения (образуют с направлением перемещения острые углы), поэтому > О

Силы, действующие на участок ABC контура, направлены против перемещения (образуют с направлением перемещения тупые углы), поэтому

, или , или

Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром (или на его потокосцепление).

В = = .

Подставляя числовые данные задачи, получим:

В = 23,14 · 10 -7 = 25мкТл.

2. МАГНИТНЫЙ ПОТОК, ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЕ.

ТЕОРЕМА ГАУССА И ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА В

Поток магнитной индукции Фм через некоторую поверхность S

Фм = ∫(В dS) =B dS cosα = ∫BndS , (3.2.1)

где круглые скобки означают скалярное произведение векторов; α – угол между нормалью n к площадке и направлением магнитной индукции В; Вn — проекция магнитной индукции на нормаль; dS = n·dS. В случае однородного магнитного поля и плоской поверхности S

Единица измерения магнитного потока в СИ – вебер (Вб), 1 Вб = 1 Тл ·1м 2 .

Пример. Виток радиусом 2 см расположен в однородном магнитном поле с индукцией В = 2 мТл так, что его плоскость составляет 30 0 с силовыми линиями. Найти магнитный поток через виток.

Решение. Используем формулу (3.2.1 ΄ ), подставив в нее площадь круга. Угол α в данном случае равен 60 0 . А не 30 0 (обратите внимание на распространенную ошибку), что видно из рис. 7. Посмотрите еще раз пояснение к формуле. Таким образом, магнитный поток

Ф = 2 · 10 -3 Тл 3,14 · 4 · 10 -4 м = 2,5мкВб.

Читайте также:  Герметик для кровли морозостойкий водостойкий

Так как линии вектора В всегда замкнуты, то число линий, выходящих из объема V, равно количеству линий, входящих в него. Поэтому поток вектора В через любую замкнутую поверхность равен нулю:

Фв = (3.2.2)

В этом состоит смысл теоремы Гаусса для магнитного поля.

Если контур состоит из N витков, каждый из которых пронизывается магнитным потоком Ф, алгебраическая сумма потоков

Ψ = Ф1 + Ф2 + . . . =. (3.2.2΄)

Величина Ψ называется потокосцеплением или полным магнитным потоком, измеряется так же, как и магнитный поток, в веберах.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции утверждает, что циркуляция вектора В вдоль замкнутого контура в отсутствие переменных электрических полей равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром:

( 3.2.3)

Значение силы тока берут со знаком «плюс», если направление тока и направление обхода контура составляет правовинтовую систему, и со знаком « минус», если левовинтовую. Выбор направления обхода произволен. Если ток охватывает контур N раз, то это обстоятельство учитывают произведением NI.

Пример. На рис.8 изображен произвольный контур, охватывающий несколько проводников с токами. Токи равны: I1 = 1 A; I2 = 2 A; I3 = 1,5 A. Найти циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль этого контура.

Решение. Согласно формуле (3.2.3). циркуляция вектора В имеет вид

Проведем операции с размерностями и покажем, что циркуляция измеряется в Тл·м:

Ниже будет показано, что произведение индуктивности и тока дает потокосцепление (L·I = Ψ), отсюда Гн·А = Вб.

Ответ: циркуляция вектора В равна 25,12·10 -7 Тл·м.

Из формулы (3.2.3), как следствие, вытекает формула для расчета магнитной индукции поля на оси бесконечно длинного соленоида в его середине:

(3.2.4)

где N – общее число соленоида; l – его длина ; n = N /l– число витков на единицу длины, μ – магнитная проницаемость сердечника, (если сердечника нет или он немагнитный, то μ =1).

3. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДВИЖУЩИЕСЯ

ЗАРЯДЫ И ПРОВОДНИКИ С ТОКОМ. РАБОТА СИЛ ПОЛЯ

Рассмотрим последовательно, как магнитное поле действует сначала на движущиеся заряды, затем на проводники с токами, в том числе и на рамку с током. В общем случае электромагнитное поле характеризуется векторами Е(r,t) – напряженностью электрического поля и В(r,t) – магнитной индукцией. Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле,

называется силой Лоренца. Квадратные скобки означают векторное произведение двух векторов v и B.

Выражение (3.3.1) справедливо как для постоянных, так и переменных электромагнитных полей. С магнитным полем связана та часть силы, которая проявляется только при движении заряда (см. второе слагаемое в выражении (3.3.1)), т.е.

в скалярной форме:

Направление силы Лоренца можно определить по правилу векторного произведения, которому соответствует мнемоническое правило правой тройки: большой , указательный и средней пальцы правой руки надо расположить перпендикулярно друг другу; если направить большой палец по вектору v для положительного заряда (для отрицательного против v), указательный по вектору В, то средний палец покажет направление магнитной составляющей силы Лоренца Fm. Есть и другой способ — мнемоническое правило левой руки. Для q > 0 левую руку надо расположить так, чтобы линии вектора В входили в ладонь, четыре пальца направить по направлению вектора v(рис. 9). Тогда большой палец укажет направление силы Лоренца. Если q 2 3 4 5 6 7

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Строительство
0 комментариев
No Image Строительство
0 комментариев
No Image Строительство
0 комментариев
No Image Строительство
0 комментариев
Adblock detector